Question

在数列{a_n}中，a₁＝－3，a_n＝2a_n－1＋2ⁿ＋3(n≥2，且nN*)．

(Ⅰ)求a₂，a₃的值；

(Ⅱ)设b_n＝(nN*)，证明：{b_n}是等差数列；

(Ⅲ)求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解： 　　∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)， 　　∴a2＝2a1＋22＋3＝1　　2分 　　a3＝2a2＋23＋3＝13．　　4分 　　(Ⅱ)证明： 　　证法一：对于任意nN*， 　　∵bn+1－bn＝[(an+1－2an)－3]＝[(2n+1＋3)－3]＝1， 　　∴数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列．　　9分 　　证法二：对于任意nN*， 　　∵2bn+1－(bn＋bn+2)＝2×＝(4an+1－4an－an+2－3) 　　＝[2(an+1－2an)－(an+2－2an+1)－3]＝[2(2n+1＋3)－(2n+2＋3)－3]＝0， 　　∴2bn+1＝bn＋bn+2， 　　∴数例{bn}是首项为＝0，公差为b2－b1＝1的等差数列．　　9分 　　(Ⅲ)解： 　　由(Ⅱ)得，＝0＋(n－1)×1， 　　∴an＝(n－1)·2n－3(nN*)．　　10分 　　∴Sn＝－3＋(1×22－3)＋(2×23－3)＋…＋[(n－1)·2n－3]， 　　即Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n－3n． 　　设Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n， 　　则2Tn＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋(n－1)·2n+1， 　　两式相减得，－Tn＝22＋23＋24＋…＋2n－(n－1)·2n+1＝－(n－1)·2n+1， 　　整理得，Tn＝4＋(n－2)·2n+1， 　　从而Sn＝4＋(n－2)·2n+1－3n(nN*)．　　14分