Question

设抛物线过定点A（-1，0），且以直线x=1为准线
（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x=-

1

2

平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m，试求m的取值范围

Answer 1

分析：（Ⅰ）设抛物线的顶点为G，则焦点坐标可得，进而根据抛物线的定义可知：|AF|=点A到直线x=1的距离进而利用两点间的距离公式求得x和y的关系式求得抛物线顶点G的轨迹C的方程．
（Ⅱ）因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定所以，要求m的取值范围，还应该从直线l与轨C相交入手
设直线l的方程与轨迹C的方程联立消去y，根据判别式大于0求得k的不等式方程，进而根据线段MN恰被直线x=-

1

2

平分，求得x_M+x_N的表达式，进而求得bk，带代入到判别式求得k的范围，下面只需找到m与k的关系，即可求出m的取值范围．求得MN中点P的坐标，把x=-

1

2

代入即可求得y₀的表达式，将P点坐标代入直线方程求得k和m的关系式，进而根据m的范围求得k的范围．

解答：解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为G（x，y），则其焦点为F（2x-1，y）由抛物线的定义可知：|AF|=点A到直线x=1的距离为2，
所以，

4x2+y2

=2
所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为x²+

y2

4

=1（x≠1）
（Ⅱ）显然，直线l与坐标轴不可能平行，所以，设直线l的方程为y=-

1

k

x+b，
代入椭圆方程得：(

4k2+1

k2

)x²-

2bx

k

+b²-4=0
由于l与轨迹C交于不同的两点M，N，所以，△=

4b 2

k2

-4（

4k2+1

k2

）（b²-4）＞0，即4k²-k²b²+1＞0（k≠0）（*）
又线段MN恰被直线x=-

1

2

平分，所以，x_M+x_N=

2bk

4k2+1

=2×（-

1

2

）
所以bk=

4k2+1

-2

，代入（*）可解得：-

3

2

＜k＜

3

2

（k≠0）
由于y=kx+m为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点P（-

1

2

，y₀）
在y=-

1

k

x+b，中，令x=-

1

2

，可解得：y₀=-

1

k

+b=-2k

将点P（-

1

2

-2k）代入y=kx+m，可得：m=-

3

2

k
所以-

3 3

4

m＜

3 3

4

，m≠0

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．