Question

已知O，A，B是同一平面内不共线的三点，且，则下列命题正确的是    ．（写出所有正确命题的编号）
①若，则点M是线段AB的中点；
②若λ=-1，μ=2，则M，A，B三点共线；
③若，则点M在∠AOB的平分线上；
④若，则点M是△OAB的重心；
⑤若点M在△OAB外，则λ＜0或μ＜0或．

Answer 1

【答案】分析：由已知可得=2，即点M是线段AB的中点，可判断①的真假；由已知可得=2，故M，A，B三点共线，可判断②的真假；根据表示与同向的单位向量，可得M点是以同向的单位向量和又同向的单位向量为两邻边的菱形对角线顶点上，进而根据菱形的性质，可判断③的真假；由已知可得++=，可得M为三角形的重心，进而判断④的真假；根据已知分析点M在△OAB外的各种情况，综合讨论结果，可得答案．
解答：解：当时，，此时=-，=-=，故=2，即点M是线段AB的中点，故①正确；
当λ=-1，μ=2时，，此时=-，=-==2，故M，A，B三点共线，故②正确；
当时，，此时M点是以同向的单位向量和又同向的单位向量为两邻边的菱形对角线顶点上，根据菱形对角线平分对角，可得点M在∠AOB的平分线上，故③正确；
当时，，此时++=，可得M为三角形的重心，故④正确；
反向延长OA，OB，分别计为OC，OD，当M点在区域AOC上时，λ＜0；当M点在区域BOD上时，μ＜0；当M点在区域COD上时，λ＜0且μ＜0；当M点在区域COD上时，λ＞0且μ＞0，若此时M点△OAB外，则，故⑤正确
故答案为：①②③④⑤
点评：本题又命题的真假判断为载体考查了向量的性质，是向量问题的综合应用，难度稍大，属中档题．