Question

设F₁，F₂分别为椭C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F₁，F₂的距离之和等于4，
∴2a=4，a=2．
∴+=1，
∴b²=3，
∴椭圆的方程为：+=1，其焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0）；
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），
∵Q（0，），
∴|PQ|²=4cos²θ+
=4-4sin²θ+3sin²θ-sinθ+
=-sin²θ-sinθ+
=-+5≤5．
∴|PQ|的最大值为．
分析：（Ⅰ）依题意可求得a=2，b²=3，从而可求得椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）利用椭圆的参数方程，利用配方法与正弦函数的性质即可求得|PQ|的最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查椭圆的参数方程及两点间的距离，考查配方法与最值问题，属于难题．