Question

12．过点M（2，-2p）作抛物线x²=2py（p＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为（　　）

• A． x²=2y
• B． x²=4y
• C． x²=2y或x²=4y
• D． x²=3y或x²=2y

Answer 1

分析 设过点M的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立，利用方程的判别式等于0，再利用韦达定理，结合线段AB中点的纵坐标为6，可求抛物线的方程．

解答 解：设过点M的抛物线的切线方程为：y+2p=k（x-2）与抛物线的方程联立消y得：x²-2pkx+4pk+4p²=0
此方程的判别式等于0，∴pk²-4k-4p=0
设切线的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=$\frac{4}{p}$，
此时x=pk，∴y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$=2（k+p），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则12=y₁+y₂=2（k₁+k₂）+4p=$\frac{8}{p}$+4p，
∴p²-3p+2=0，
∴p=1或p=2，
∴所求抛物线的方程为x²=2y或x²=4y，
故选C．

点评 本题考查抛物线的切线，考查韦达定理的运用，考查中点坐标公式，属于中档题．