Question

如图所示，凸多面体ABCED中，⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=

2

，CE=2，F为BC的中点．
（1）求证：AF∥面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BCE；
（3）求V_B-ACED．

Answer 1

证明：（Ⅰ）作BE的中点G，连接GF，GD，∴GF为三角形BCE的中位线，


∴GF∥EC∥DA，GF=

1

2

CE=DA，…（5分）
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD，又GD?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．…（7分）
（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，…（10分）
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．…（12分）
（Ⅲ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，
∵BC²=AC²+AB²，∴AB⊥AC，…（14分）
∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，
即AB为四棱锥B-ACED的高，
∴VB-ACED=

1

3

•SACED•AB=

1

3

×

1

2

×（1+CE）×1×1=

1

2

．…（15分）