Question

已知函数f1(x)=e|x-2a+1|，f2(x)=e|x-a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f₁（x）+f₂（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若x∈[a，+∞）时，f₂（x）≥f₁（x），求a的取值范围；
（3）求函数g(x)=

f1(x)+f2(x)

2

-

|f1(x)-f2(x)|

2

在x∈[1，6]上的最小值．

Answer 1

（1）因为a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e^|x-3|+e^|x-2|+1=e^3-x+e^x-1=

e3

ex

+

ex

e

≥2

e3 ex × ex e

=2e，
当且仅当x=2时取等号，所以f（x）在x∈[2，3]上的最小值为2e …4分
（2）由题意知，当x∈[a，+∞） 时，e^|x-2a+1|≤e^|x-a|+1，即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立…6分
所以|x-2a+1|≤x-a+1，即2ax≥3a²-2a 对x∈[a，+∞） 恒成立，
则由

2a≥0 2a2≥3a2-2a

，得所求a的取值范围是0≤a≤2…9分
（3）记h₁（x）=|x-（2a-1）|，h₂（x）=|x-a|+1，则h₁（x），h₂（x）的图象分别是以（2a-1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1．
①当1≤2a-1≤6，即1≤a≤

7

2

时，∴g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f₁（2a-1）=e⁰=1…10分
②当a＜1时，可知2a-1＜a，所以
（ⅰ）当h₁（a）≤h₂（a），得|a-（2a-1）|≤1，即-2≤a≤0时，在x∈[1，6]上，h₁（x）＜h₂（x），即f₁（x）＞f₂（x），所以g（x）=f₂（x）的最小值为f₂（1）=e^2-a；
（ii）当h₁（a）＞h₂（a），得|a-（2a-1）|＞1，即a＜-2或0＜a＜1时，在x∈[1，6]上，h₁（x）＞h₂（x），即f₁（x）＜f₂（x），所以g（x）=f₁（x）的最小值为f₁（1）=e^3-2a；
③当a＞

7

2

时，因为2a-1＞a，可知2a-1＞6，且h₁（6）=2a-7＞a-5=h₂（6），所以
（ⅰ）当

7

2

＜a≤6时，g（x）的最小值为f₂（a）=e
（ii）当a＞6时，因为h₁（a）=a-1＞1=h₂（a），∴在x∈[1，6]上，h₁（x）＞h₂（x），即f₁（x）＜f₂（x），所以g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f₂（6）=e^a-5…15分
综上所述，函数g（x）在x∈[1，6]上的最小值为

1，1≤a≤ 7 2 e2-a，-2≤a≤0 e3-3a，a＜-2或0＜a＜1 e， 7 2 ＜a≤6 ea-5，a＞6

…16分