Question

如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60 °，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求二面角P﹣BC﹣A的大小．

Answer 1

证明：（1）取PD的中点M，
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴ME∥FB
∴四边形MEBF是平行四边形
∴BE∥MF
∵BE∥平面PDF，
MF平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）连接BD，易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）过点A做AH⊥CB延长线于H，
因为PA⊥面ABCD，
所以PH⊥BC，
既∠PHA为二面角P﹣BC﹣A的平面角，
在Rt△ABC中，
所以∠PHA=30°既二面角P﹣BC﹣A的大小为30°．