Question

某施工地位于A、B两条河的交汇处，根据历史统计资料预测．今年汛期A河流发生洪水的概率为0.25，B河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工单位提出以下三种方案：
方案1：不采取措施，此时只有一条河流发生洪水时，损失为10000元，当两条河流都发生洪水时损失为60000元．
方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；
方案3：运走设备，此时需花费4000元；
（1）试求方案1中损失费X（随机变量）的分布列及期望；
（2）试比较哪一种方案好．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）记A={A河流发生洪水}，B={B河流发生洪水}，则p（A）=0.25，p（B）=0.18，由此能求出方案1中损失费X（随机变量）的分布列及期望．
（Ⅱ）方案2的可能花费为：1000+5600×0.45=3520，方案3的花费为4000．从而得到方案2最优．

解答： 解：（Ⅰ）记A={A河流发生洪水}，B={B河流发生洪水}
则p（A）=0.25，p（B）=0.18，
∴两条河流都发生洪水的概率为：
p（A•B）=p（A）•P（B）=0.25×0.18=0.045，
只有一条河流发生洪水的概率为p(A

.

B

+

.

A

B)=p(A)•p(

.

B

)+p(

.

A

)•p(B)=0.25×0.82+0.75×0.18=0.34
两条河流都不发生洪水的概率为：
P（

.

A

•

.

B

）=P（

.

A

）•P（

.

B

）=0.75×0.82=0.615．
∴方案1中，则损失费X（随机变量）的分布列为

X	10000	60000	0
p	0.34	0.045	0.615

∴损失费X（随机变量）的期望为：
EX=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100．
（Ⅱ）方案2的可能花费为：1000+5600×0.45=3520；
方案3的花费为4000．
综上，方案2最优．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．