Question

已知正四棱锥S-ABCD，E是SB的中点，若SA=

2

AB，则异面直线AE与SD所成的角等于（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

分析：设AB=1，则SA=

2

，设AC和 BD交与点O，∠AEO或其补角即为异面直线AE与SD所成的角．求出EO，AO的值，余弦定理求得cos∠ASB，由余弦定理可得 AE² 的值，可得△AEO为等腰直角三角形，故∠AEO=

π

4

．

解答：解：正四棱锥S-ABCD，E是SB的中点，若SA=

2

AB，设AB=1，则SA=

2

．
设AC和 BD交与点O，则EO是三角形SBD的中位线，∠AEO或其补角即为异面直线AE与SD所成的角．
EO=

1

2

SD=

2

2

，AO=

1

2

AC=

2

2

．
△SAB中，由余弦定理可得 1=2+2-2•

2

•

2

cos∠ASB，∴cos∠ASB=

3

4

． 
△SAE中，由余弦定理可得 AE²=2+

2

2

-2•2•

2

2

cos∠ASB=1，∴AE²=AO²+EO²，
故△AEO为等腰直角三角形，故∠AEO=

π

4

，故异面直线AE与SD所成的角等于

π

4

，故选 B．

点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了数形结合的数学思想，判断“，∠AEO或其补角即为异面直线AE与SD所成的角”，是解题的关键．