Question

经过点A（-3，-），倾斜角为α的直线l与圆x²+y²=25相交于B、C两点.

（1）求弦BC的长；

（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；

（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；

（4）当α变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程.

Answer 1

解：取AP=t为参数(P为l上的动点)，?

则l的参数方程为

代入x²+y²=25,整理，得t²-3(2cosα+sinα)t-=0.?

∵Δ=9(2cosα+sinα)²+55＞0恒成立，

∴方程必有两相异实根t₁,t₂,且t₁+t₂=3(2cosα+sinα),t₁·t₂=-.

(1)|BC|=|t₁-t₂|=

(2)∵A为BC中点，∴t₁+t₂=0,?

即2cosα+sinα=0.∴tanα=-2.?

故直线BC的方程为y+=-2(x+3),?

即4x+2y+15=0.?

(3)∵|BC|==8,?

∴(2cosα+sinα)²=1.∴cosα=0或tanα=-.?

∴直线BC的方程是x=-3或3x+4y+15=0.?

(4)∵BC的中点M对应的参数是(2cosα+sinα),?

∴点M的轨迹方程为

(0≤α≤π).?

∴?

∴(x+)²+(y+)²=4516,?

即点M的轨迹是以（-，-）为圆心，半径为的圆.