精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
精英家教网在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.
(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;
(Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.
分析:(Ⅰ)根据所给的一系列平行,得到三角形相似,根据平行四边形的判定和性质,得到线与线平行,根据线与面平行的判定定理,得到线面平行.
(Ⅱ)根据二面角的求解的过程,先做出,再证明,最后求出来,这样三个环节,先证∠HRC为二面角的平面角,再设出线段的长度,在直角三角形中求出角的正切值,得到二面角的大小.
解答:精英家教网证明:(Ⅰ)∵EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,
∴∠EGF=90°,△ABC~△EFG,
由于AB=2EF,
∴BC=2FG,
连接AF,
∵FG∥BC,FG=
1
2
BC,
在?ABCD中,M是线段AD的中点,
∴AM∥BC,且AM=
1
2
BC,
∴FG∥AM且FG=AM,
∴四边形AFGM为平行四边形,
∴GM∥FA,
∵FA?平面ABFE,GM?平面ABFE,
∴GM∥平面ABFE.
(Ⅱ)由题意知,平面ABFE⊥平面ABCD,
取AB的中点H,连接CH,
∵AC=BC,
∴CH⊥AB
则CH⊥平面ABFE,
过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,
由线面垂直的性质可得CR⊥BF,
∴∠HRC为二面角的平面角,
由题意,不妨设AC=BC=2AE=2,
在直角梯形ABFE中,连接FH,
则FH⊥AB,
又AB=2
2

∴HF=AE=1,HR=
S△BHE
1
2
×BE
=
2
3
=
6
3
,由于CH=
1
2
AB=
2

∴在直角三角形CHR中,tan∠HRC=
2
6
3
=
3

因此二面角A-BF-C的大小为60°
点评:本题考查线面平行的判定定理,考查二面角的求法,考查求解二面角时的三个环节,本题是一个综合题目,题目的运算量不大.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

在如图所示的几何体中,四边形ABCD、ADEF、ABGF均为全等的直角梯形,且BC∥AD,AB=AD=2BC.
(Ⅰ)求证:CE∥平面ABGF;
(Ⅱ)求二面角G-CE-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在如图所示的几何体中,平行四边形ABCD的顶点都在以AC为直径的圆O上,AD=CD=DP=a,AP=CP=
2
a,DP∥AM,且AM=
1
2
DP,E,F分别为BP,CP的中点.
(I)证明:EF∥平面ADP;
(II)求三棱锥M-ABP的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•朝阳区一模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EF=1,BC=
13
,且M是BD的中点.
(Ⅰ)求证:EM∥平面ADF;
(Ⅱ)在EB上是否存在一点P,使得∠CPD最大?若存在,请求出∠CPD的正切值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面FBC;
(Ⅱ)线段ED上是否存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC?证明你的结论.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=BD=2AE=2,M是AB的中点. 
(1)求证:CM⊥平面ABDE;
(2)求几何体的体积.

查看答案和解析>>

同步练习册答案