Question

设分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,)到F₁，F₂两点的距离之和等于4.

⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标；

⑵过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程;

⑶过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.

Answer 1

⑴椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；

又点A(1,) 在椭圆上，因此得b²=1，于是c²=3；所以椭圆C的方程为，⑵∵P在椭圆内，∴直线DE与椭圆相交，∴设D(x₁,y₁),E(x₂,y₂)，代入椭圆C的方程得 　x₁²+4y₁²-4=0, x₂²+4y₂²-4=0,相减得2(x₁-x₂)+4×2×(y₁-y₂)=0,∴斜率为k=-1

∴DE方程为y-1= -1(x-),即4x+4y=5;

(3)直线MN不与y轴垂直，∴设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得

（m²+4)y²+2my-3=0, 设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则y₁+y₂=-, y₁y₂=-,且△>0成立.

又S_△OMN=|y₁-y₂|=×=，设t=≥,则

S_△OMN=,(t+)′=1-t^-2>0对t≥恒成立，∴t=时t+取得最小，S_△OMN最大，

此时m=0,∴MN方程为x=1