Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁B₁C．

Answer 1

证明：（Ⅰ）证明：连接BC₁，AC₁．
在△ABC₁中，∵M，N是AB，A₁C的中点，∴MN||BC₁．
又∵MN?平面BCC₁B₁，∴MN||平面BCC₁B₁．

（Ⅱ）如图，以B₁为原点建立空间直角坐标系B₁-xyz．
则B₁（0，0，0），C（0，2，2），A₁（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）
∴=（0，2，2），，．
设平面A₁B₁C的法向量为n=（x，y，z）．
令z=1，则x=0，y=-1，∴n=（0，-1，1）．
∴．∴MN⊥平面A₁B₁C．
分析：（Ⅰ）欲证MN||平面BCC₁B₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCC₁B₁内一直线平行即可，而连接BC₁，AC₁．根据中位线定理可知MN||BC₁，又MN?平面BCC₁B₁满足定理所需条件；
（Ⅱ）以B₁为原点，A₁B₁为x轴，B₁B为y轴，B₁C₁为z轴建立空间直角坐标系B₁-xyz，求出平面A₁B₁C的法向量为n=（x，y，z），而，根据法向量的意义可知MN⊥平面A₁B₁C．
点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．