Question

已知动圆P与圆M：(x+

2 6

3

)2+y2=16相切，且经过点N(

2 6

3

，0)．
（1）试求动圆的圆心P的轨迹C的方程；
（2）设O为坐标原点，圆D：（x-t）²+y²=t²（t＞0），若圆D与曲线C交于关于x轴对称的两点A、B（点A的纵坐标大于0），且

OA

•

OB

=0，请求出实数t的值；
（3）在（2）的条件下，点D是圆D的圆心，E、F是圆D上的两动点，满足2

OD

=

OE

+

OF

，点T是曲线C上的动点，试求

TE

•

TF

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先由点N在圆M内，得圆M，P相内切；有|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=

4 6

3

＜4，可得动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆；即可求出动圆的圆心P的轨迹C的方程；
（2）：

OA

•

OB

=0可得OA⊥OB，再由对称性知，∠AOD=∠BOD=45°，可以求得直线OA的方程为y=x，与椭圆方程联立可以求得点A的坐标；再利用点A在圆D代入即可求出实数t的值；
（3）先由2

OD

=

OE

+

OF

知，D是线段EF的中点，设出各点坐标，代入

TE

•

TF

整理为一元二次函数，利用一元二次函数在固定区间上的最值求法即可求

TE

•

TF

的最小值．

解答：解：（1）设动圆P的圆心坐标为P（x，y），
则由题意知：点N在圆M内，故圆M，P相内切，
∴|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=

4 6

3

＜4，
所以，动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆；
所以，动点P的轨迹方程为，

x2

4

+

y2

4 3

=1．
（2）：

OA

•

OB

=0∴OA⊥OB，由对称性知，∠AOD=∠BOD=45°，
所以，直线OA的斜率k_OA=1，直线OA的方程为y=x，
由

y=x x2 4 + 3y2 4 =1

，得A（1，1）；
又点A在圆D：（x-t）²+y²=t²（t＞0）上，
∴（1-t）²+1=t²，解得t=1．
（3）：由2

OD

=

OE

+

OF

知，D是线段EF的中点，
不妨设E（x₁，y₁），由（2）知，D（1，0）∴F（2-x₁，-y₁）
设T（x₀，y₀），
则

TE

•

TF

=（x₁-x₀，y₁-y₀）•（2-x₁-x₀，-y₁-y₀）
=（x₁-x₀）（2-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（-y₁-y₀）
=2（x₁-x₀）-（x₁²-x₀²）+（y₀²-y₁²）
=-x₁²+2x₁-y₁²+x₀²+y₀²-2x₀
=-[（x₁-1）²+y₁²]+1+x₀²+y₀²-2x₀
=x₀²-2x₀+

4

3

（1-

x02

4

）
=

2

3

(x0-

3

2

)2-

1

6

；
由-2≤x₀≤2知，当x₀=

3

2

时，

TE

•

TF

的最小值为-

1

6

；

点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及轨迹方程．第一问中的关键在于分析出圆M，P相内切；有|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=

4 6

3

＜4，进而得到动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆．