Question

15．从双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长线FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=$\frac{b}{2}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-a=|MF|-a，于是|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．即可得出结论．

解答 解：如图所示，
设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，
由三角形中位线定理得到：|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-a=|MF|-a，
∴|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，∴|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．
∴|OM|-|MT|=b-a．
∵|MO|-|MT|=$\frac{b}{2}$，
∴b-a=$\frac{b}{2}$，
∴b=2a，
∴c=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了双曲线的定义和性质的运用，结合三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质等知识，考查学生的计算能力和分析能力，是中档题．