Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，E、F分别是AB、PD的中点.

(1)求证：AF∥平面PCE；

(2)若二面角P—CD—B为45°，求二面角E—PC—D的大小.

Answer 1

解析：(1)取PC的中点G，连结EG、FG.

∵F是PD的中点，

∴FGCD.

∴四边形AEGF为平行四边形.

∴AF∥EG.

∵EG平面PCE，

∴AF∥平面PCE.

(2)∵PA⊥平面ABCD，

    又AD⊥CD，

∴CD⊥PD(三垂线定理).

∴CD⊥平面PAD.

∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.

∴∠PDA=45°.

∴PA=AD.

    又F为PD中点，

∴AF⊥PD.

    又CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AF.

∴AF⊥平面PCD.

    又AF∥EG，

∴EG⊥平面PCD.

    又EG面PCE，

∴面PEC⊥面PCD.

∴二面角E—PC—D为90°.