Question

已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m恒成立；命题q：存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立
（Ⅰ）若p为真命题，求m的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
（Ⅲ）若a＞0且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m恒成立，知m²-3m≤-2，由此能求出m的取值范围．
（Ⅱ）由a=1，且存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立，推导出命题q满足m≤1，由p且q为假，p或q为真，知p、q一真一假．由此能求出a的范围．
（Ⅲ）由a＞0存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立，知命题q满足m≤a，再由p是q的充分不必要条件，能求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m恒成立
∴(2x-2)min≥m2-3m，
即m²-3m≤-2，
解得1≤m≤2，
即p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．
（Ⅱ）∵a=1，且存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立
∴m≤1
即命题q满足m≤1．
∵p且q为假，p或q为真
∴p、q一真一假．
当p真q假时，则

1≤m≤2 m＞1

，即1＜m≤2，
当p假q真时，

m＜1或m＞2 m≤1

，即m＜1．
综上所述，m＜1或1＜m≤2．
（Ⅲ）∵a＞0存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立，
∴命题q满足m≤a，
∵p是q的充分不必要条件，
∴a≥2．

点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意不等式的性质的合理运用．