Question

已知：右图为一个多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三视图，其中各边长度及位置关系如三视图所表示，
（1）求：二面角A₁-DC₁-B的余弦值
（2）已知点E为面对角线B₁D₁上的动点（不包括端点），求证：三棱锥D-EBC₁的体积为定值，并求出这个定值
（注：答题时在答题卡的20题答题区域用尺、笔画出所用立体图形，标清字母，黑色笔描出）

Answer 1

分析：（1）根据三视图，可得直观图，建系设坐标以D点为原点，DA为OX轴，DC为OY轴，DD₁为OZ轴，，可求面A₁DC₁，DC₁B的法向量坐标，从而可求二面角A₁-DC₁-B的余弦值；
（2）设C₁到平面BD₁的距离为h，则可知h=2

2

，利用等体积可求三棱锥D-EBC₁的体积，从而可得结论

解答：解：（1）如图，建系设坐标以D点为原点，DA为OX轴，DC为OY轴，DD₁为OZ轴，则A₁（2，0，4），C₁（0，4，4），B（2，2，0），D（0，0，0）
∴

DA1

=(2，0，4)，

DC1

=(0，4，4)
设面A₁DC₁的法向量坐标为

n

=(x，y，z)
∴

n • DC1 =0 n • DA1 =0

，∴

2x+4z=0 4y+4z=0

，∴

n1

=(-2，-1，1)，
同理可得面DC₁B的法向量坐标

n2

=(-1，1-1)
∴二面角A₁-DC₁-B的余弦值为cos＜

n1

，

n2

＞= 0
（2）设C₁到平面BD₁的距离为h，则可知h=2

2

∵S△DEB=4

2

∴VC1-DEB=

1

2

×4

2

×2

2

=

16

3

∵VD-EBC1=VC1-DEB     
∴VD-EBC1=

16

3

．为定值．

点评：本题以三视图为载体，考查面面角，考查三棱锥的体积，关键是利用等体积转化．