Question

设命题p：关于x 的不等式x²+2ax+4>0 对一切x ∈R 恒成立，q：函数f(x)=-(4-2a)x 在（- ∞，+ ∞）上是减函数．是否存在实数a ，使得两个命题中有且仅有一个是真命题？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：假设存在实数a 使得命题p 、q 中有且仅有一个是真命题，
不妨设集合A={a|x²+2ax+4>0 对一切x ∈R 恒成立} ，
集合B={a|f(x)=-(4-2a)x 在（- ∞，+ ∞）上是减函数} ．
由x²+2ax+4>0 ，得Δ=(2a)²-4 ×4 <0,-2<a<2,
∴A={a|-2<a<2}.
由f(x)=-(4-2a)x 在（- ∞，+ ∞）上是减函数，得4-2a>1,
即
∵命题p、q中有且仅有一个是真命题，
∴命题p真且命题q假，或命题p假且命题q真．
∴问题转化为求[A∩(C_UB]∪[(C_UA)∩B]．
∵C_RA={a|a≤-2或a≥2},C_RB=
∴A∩(C_RB)=(C_RA)∩B={a|a≤-2},
∴实数n的取值范围是{a|a ≤-2 或