Question

已知P是椭圆+=1(a＞b＞0)上的点，P与两焦点F₁、F₂的连线互相垂直，且点P到两准线的距离分别为d₁=6和d₂=12，求椭圆方程.

Answer 1

解：如图所示，P到l₁的距离为d₁，P到l₂的距离为d₂.

    由第二定义知|PF₁|=ed₁,|PF₂|=ed₂.

    又∵|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,

    ∴e²d₁²+e²d₂²=(2c)².

    ∴(6²+12²)=4c²,a²==45.

    又∵|PF₁|+|PF₂|=2a,

    ∴|PF₁|²+2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=4a².

    ∴4c²+2e²d₁d₂=4a².

    ∴4c²+=4a².

    ∴4c²+c²=45×4.

    ∴c²=45.

    ∴c²=.∴c==5.

    ∴c²=25.

    ∴b²=a²-c²=20.

    ∴椭圆方程为+=1.