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精英家教网如图,△ABC中,∠B=
3
,AC=2,∠A=θ,设△ABC的面积为f(θ).
(Ⅰ)若θ=
π
12
,求AB的长;
(Ⅱ)求f(θ)的解析式,并求f(θ)的单调区间.
分析:(Ⅰ)根据三角形的内角和定理,由∠A和∠B,求出∠C的度数,然后利用正弦定理,由AC,sinB和sinC的值,即可求出AB的长;
(Ⅱ)根据正弦定理,由AC,sinB和sinC,表示出AB,然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,把表示出的AB代入,利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值,以及二倍角的正弦、余弦函数公式和两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据θ的范围,求出2θ+
π
6
的范围,根据正弦函数的单调区间,即可得到f(θ)的单调区间.
解答:解:(Ⅰ)∠C=
π
3
-
π
12
=
π
4
,由正弦定理知:
AB
sinC
=
AC
sinB

AB=AC•
sin
π
4
sin
3
=
2
6
3

(Ⅱ)由正弦定理知:
AB
sinC
=
AC
sinB

AB=AC•
sin(
π
3
-θ)
sin
3
=
4
3
3
sin(
π
3
-θ)

f(θ)=S△ABC=
1
2
AB•AC•sinA=
4
3
3
sinθsin(
π
3
-θ)
(0<θ<
π
3
)

f(θ)=
4
3
3
sinθsin(
π
3
-θ)=
4
3
3
sinθ(
3
2
cosθ-
1
2
sinθ)

=2sinθcosθ-
2
3
3
sin2θ=sin2θ-
3
3
(1-cos2θ)

=sin2θ+
3
3
cos2θ-
3
3
=
2
3
3
sin(2θ+
π
6
)-
3
3

0<θ<
π
3

π
6
<2θ+
π
6
6

π
6
<2θ+
π
6
π
2
0<θ≤
π
6
,由
π
2
<2θ+
π
6
6
π
6
<θ<
π
3

∴f(θ)在区间(0,
π
6
]
上是增函数,在区间(
π
6
π
3
)
上是减函数.
点评:此题考查学生利用运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值,熟练掌握三角函数的恒等变换,掌握正弦函数的单调区间,是一道中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,△ABC中,BC=2
3
AB
AC
=4,
AC
CB
=2
,双曲线M是以B、C为焦点且过A点.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求双曲线M的方程;
(Ⅱ)设过点E(1,0)的直线l分别与双曲线M的左、右支交于
F、G两点,直线l的斜率为k,求k的取值范围.;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的直线l,是否存在k≠0使|OF|=|OG|若有求出k的值,若没有说明理由.(O为原点)

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,△ABC中,
AN
=
1
3
NC
,若
BP
=n
BN
AP
=m
AB
+
2
11
AC
,求实数m、n的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB,BP延长线交AC、CF于E、F,
求证:PB2=PE•PF.

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已知:如图,△ABC中,∠B=60°,AD,CE是角平分线.
求证:AE+CD=AC.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,△ABC中,点D在BC边上,且AC=2,BC=2.5,AD=1,BD=0.5,则AB的长为
 
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