Question

某校高三年级文科共有800名学生参加了学校组织的模块测试，教务处为了解学生学习情况，采用系统抽样的方法，从这800名学生的数学成绩中抽出若干名学生的数学成绩．
并制成如下频率分布表：

分组	频数	频率
[70，80）	4	0.04
[80，80）	6	0.06
[90，100）	20	0.20
[100，110）	22	0.22
[110，120）	18	b
[120，130）	a	0.15
[130，140）	10	0.10
[140，150）	5	0.05
合计	c	1

（I）李明同学本次数学成绩为103分，求他被抽取的概率P；
（Ⅱ）为了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生的成绩，并从这6名学生中再随机抽取2名，与心理老师面谈，求第七组至少有一名学生与心理老师面谈的概率’
（Ⅲ）估计该校本次考试的数学平均分．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据各组的频率之和等于1，可得b的值，根据某一组的频数和频率求得样本容量c的值，从而求得a的值．再由每个个体被抽到的概率都相等，
可得李明同学被抽到的概率为．
（Ⅱ）求得从第七组抽取的人数为2．从这6名学生中再随机抽取2名，所有的抽取方法共有 种，而第七组没有学生被抽到的方法有种，
由此求得第七组没有学生被抽到的概率，再用1减去此概率，即得所求．
（Ⅲ）用每一组的平均值乘以该组的频率，相加，即得该校本次考试的数学平均分的估计值．
解答：解：（I）根据各组的频率之和等于1，可得b=0.15，根据=0.04，解得样本容量c=100，故a=15．
再由每个个体被抽到的概率都相等，都等于=，可得李明同学被抽到的概率为．
（Ⅱ）第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生的成绩，每个个体被抽到的概率为 =，
故从第七组抽取的人数为 10×=2．
从这6名学生中再随机抽取2名，所有的抽取方法共有=15种，而第七组没有学生被抽到的方法有=6种，
故第七组没有学生被抽到的概率为 =，故第七组至少有一个学生被抽到的概率为 1-=．
（Ⅲ）估计该校本次考试的数学平均分为 75×0.04+85×0.06+95×0.2+105×0.22+115×0.15+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110.4分．
点评：本题主要考查古典概率及其计算公式，频率分步表的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．