Question

（2007•肇庆二模）若x∈[-

π

2

，0]，则函数f(x)=cos(x+

π

6

)-cos(x-

π

6

)+

3

cosx的最小值是（　　）

• A．1
• B．-1
• C．-

  3

• D．-2

Answer 1

分析：由三角恒等变换公式，化简得f（x）=2sin（

π

3

-x），结合

π

3

-x∈[

π

3

，

5π

6

]利用三角函数的图象，即可得到当且仅当x=-

π

2

时，函数的最小值是1．

解答：解：∵cos(x+

π

6

)=cosxcos

π

6

-sinxsin

π

6

=

3

2

cosx-

1

2

sinx
cos(x-

π

6

)=cosxcos

π

6

+sinxsin

π

6

=

3

2

cosx+

1

2

sinx
∴f(x)=cos(x+

π

6

)-cos(x-

π

6

)+

3

cosx
=-sinx+

3

cosx=2sin（

π

3

-x）
∵x∈[-

π

2

，0]，得

π

3

-x∈[

π

3

，

5π

6

]
∴sin（

π

3

-x）∈[

1

2

，1]，可得f（x）=2sin（

π

3

-x）∈[1，2]
当且仅当x=-

π

2

时，函数的最小值是1
故选：A

点评：本题给出三角函数式，求它在闭区间上的最小值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．