Question

已知曲线f（x）=ln（2-x）+ax在点（0，f（0））处的切线斜率为

1

2

．
（1）求f（x）的极值；
（2）设g（x）=f（x）+kx，若g（x）在（-∞，1）上是增函数，求实数k的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a₁∈（0，1），a_n+1=f（a_n），求证：对一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根据负数没有对数得到f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，把x等于0代入导函数求出的函数值为曲线在已知点处的切线方程的斜率，让其等于已知的斜率表示出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入到导函数中，令导函数等于0求出x的值，然后利用x的值在f（x）的定义域上讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的极值；（2）求出g（x）的导函数，因为g（x）在（-∞，1）上是增函数，所以导函数在（-∞，1）上恒大于等于0，列出关于k的不等式，解出k恒大于等于一个关于x的关系式，利用定义域求出关系式的范围得到关系式的最大值，让k大于等于这个最大值即可得到k的范围；（3）利用数学归纳法证明，方法是：当n=1时，显然成立；假设当n=k时成立，证明n=k+1也成立，即可得证．

解答：解：（1）f（x）的定义域是（-∞，2），f′(x)=

1

x-2

+a，
由题知f′(0)=-

1

2

+a=

1

2

，∴a=1∴f′(x)=

1

x-2

+1=

x-1

x-2

令f'（x）=0，得x=1，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：

所以f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；
（2）g(x)=ln(2-x)+(k+1)x，g′(x)=

1

x-2

+(k+1)，
由题知g'（x）≥0在（-∞，1）上恒成立，即k≥

1

2-x

-1在（-∞，1）上恒成立，
∴x＜1，∴2-x＞1，∴0＜

1

2-x

＜1，
∴-1＜

1

2-x

-1＜0，∴k≥0，
即实数k的取值范围是[0，+∞）；
（3）a_n+1=f（a_n）=ln（2-a_n）+a_n
（i）当n=1时，由题意知0＜a₁＜1；
（ii）假设n=k时，有0＜a_k＜1，
则n=k+1时，∵a_k+1=f（a_k），f（x）在（0，1）上是增函数，
∴f（0）＜f（a_k）＜f（1）
即f（0）＜a_k+1＜f（1），即ln2＜a_k+1＜1，
又ln2＞0
∴0＜a_k+1＜1，即n=k+1时，求证的结论也成立
由（i）（ii）可知对一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的增减性并根据函数的增减性得到函数的极值，会利用数学归纳法进行证明，是一道综合题．