Question

已知在四棱锥P一ABCD中，二面角P一AD一B为60°，∠PDA=45°，∠DAB=90°，∠PAD=90°，∠ADC=135°，
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P一CD一B的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明面面垂直，要在其中一个平面内找垂直于另一个平面的垂线，由已知可知，DA⊥PA且 DA⊥AB，所以DA⊥平面PAB，从而所证两面垂直
（Ⅱ）求线面所成的角，需要先找斜线在平面内的射影，由（Ⅰ）知，过P作AB的垂线PH，就垂直于平面ABCD，故∠PDH为PD为平面ABCD所成角，再在三角形PHD中计算该角即可
（Ⅲ）要求二面角，需先找到二面角的平面角，由于PH⊥平面ABCD，故可用三垂线法作出二面角的平面角，即过H作CD的垂线，垂足为F，则∠PFH为二面角P-CD-B的平面角，再在三角形PFH中计算此角的正切值即可

解答：解：（I）证明：∵∠DAB=90°∴DA⊥AB
∵∠PAD=90°∴DA⊥PA，∵PA∩AB=A
∴DA⊥平面PAB，∵DA?平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
（II）∵平面PAB⊥平面ABCD，过P作PH⊥AB交于H，则PH⊥平面ABCD
连DH，则∠PDH为PD为平面ABCD所成角
∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴∠PAB为二面角P-AD-B的平面角，∠PAB=60°
设PA=a，则AD=a，PD=

2

a，PH=

3

2

a，∴sin∠PDH=

PH

PD

=

3 2 a

2 a

=

6

4

则PD与平面ABCD所成角的正弦值为

6

4

（III）延长CD、BA交于E，过H作HF⊥CE于F，连PF，
∵PH⊥平面ABCD，∴PF⊥CE
∴∠PFH为二面角P-CD-B的平面角
∵∠ADC=135°，∴∠EDA=45°，则EA=AD=a，EH=

3

2

a，
∵∠E=45°
∴FH=EH•sin45°=

3

2

a•

2

2

=

3 2

4

a，
tan∠PFH=

PH

FH

=

3 2 a

3 2 4 a

=

6

3

点评：本题考查了空间面面垂直的证明方法，空间线面角的作法和求法，空间面面角的作法和求法，解题时要认真体会垂线在解题中的重要应用，还要注意规范解题过程，逻辑严密