Question

如图所示,在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.

(1)试确定点F的位置,使得D₁E⊥平面AB₁F;

(2)当D₁E⊥平面AB₁F时,求二面角C₁EFA的大小(结果用反三角函数值表示).

Answer 1

剖析:(1)先假设D₁E⊥面AB₁F,再用三垂线定理验证D₁E⊥AF,即可得出结论.

     (2)由三垂线定理作出二面角,再由解直角三角形知识求出角.

     (3)本题也可用空间向量知识求解.

解法一:(1)如图,连结A₁B,则A₁B是D₁E在面ABB₁A₁内的射影.

  因为AB₁⊥A₁B,所以D₁E⊥AB₁.

    于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.

    连结DE,则DE是D₁E在底面ABCD内的射影.

    因为D₁E⊥AFDE⊥AF,又因为ABCD是正方形,E是BC的中点,

    所以当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,

    即当点F是CD的中点时,D₁E⊥平面AB₁F.

    (2)当D₁E⊥平面AB₁F时,由(1)知点F是CD的中点,

    又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD.

    连结AC,设AC与EF交于点H,则CH⊥EF.

    连结C₁H,则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.

    所以C₁H⊥EF,即∠C₁HC是二面角C₁EFC的平面角.

    在Rt△C₁CH中,因为C₁C=1,CH=AC=,所以tan∠C₁HC===2.

    所以∠C₁HC=arctan2,从而∠AHC₁=π-arctan2.

    故二面角C₁EFA的大小为π-arctan2.

解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

    (1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),D₁(0,1,1),E(1, ,0),F(x,1,0).

    所以=(1,-,-1), =(1,0,1), =(x,1,0).

    所以·=1-1=0,即D₁E⊥AB₁.

    于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF·=0x-=0,即x=.

    故当点F是CD的中点时,D₁E⊥平面AB₁F.

    (2)当D₁E⊥平面AB₁F时,F是CD的中点.又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD.

    连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF.连结C₁H,则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.

    所以C₁H⊥EF,即∠AHC₁是二面角C₁-EF-A的平面角.

    因为C₁(1,1,1)、H(,,0),

所以=(,,1), =(-,-,0).

所以cos∠AHC₁===-,

    即∠AHC₁=arccos(-)=π-arccos.

    故二面角C₁EFA的大小为π-arccos.

讲评:本题通过一典型图形正方体,考查了线面关系和线线关系(垂直、平行),又考查了正方体的一些性质,同时考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力.