Question

设S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…，S_n=1²+2²+…+n²+…+2²+1²，…，某学生猜测S_n=n（an²+b），老师：回答正确，则a+b=

 

．

Answer 1

分析：根据已知中S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…，我们归纳分析后，即可得到一个关于S_n的表达式，进而确定出a，b的值后，即可得到答案．

解答：解：∵S₁=1²=1×（

2

3

×1²+

1

3

），
S₂=1²+2²+1²=2×（

2

3

×2²+

1

3

），
S₃=1²+2²+3²+2²+1²=3×（

2

3

×3²+

1

3

），
…，
由此我们可以推断
S_n=1²+2²+…+n²+…+2²+1²=n×（

2

3

×n²+

1

3

），
故a=

2

3

，b=

1

3

，
∴a+b=1
故答案为：1

点评：本题考查的知识点是归纲推理，其中根据已知中S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…及某学生猜测S_n=n（an²+b），老师回答正确，而将问题转化为一个方程问题是解答的关键．