Question

（2012•佛山二模）已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-

3

，0)，而且过点H(

3

，

1

2

)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：根据椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-

3

，0)，过点H(

3

，

1

2

)，可得a²-b²=3，

3

a2

+

1

4b2

=1，联立即可求得椭圆E的方程；
解法二：椭圆的两个焦点分别为F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），求出xN=

-x0

y0-1

，同xM=

x0

y0+1

设圆G的圆心为(

1

2

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)，h)，利用OT2=OG2-r2=

1

4

(

x0

y0+1

+

x0

y0-1

)2+h2-

1

4

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)2-h2=

x02

1-y02

，即可得到线段OT的长度；
解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），求出xN=

-x0

y0-1

，xM=

x0

y0+1

，可得|OM|•|ON|=|

-x0

y0-1

•

x0

y0+1

|=|

x02

y02-1

|，由切割线定理可得线段OT的长度．

解答：（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-

3

，0)，
∴a²-b²=3，①
∵椭圆过点H(

3

，

1

2

)．
∴

3

a2

+

1

4b2

=1，②
①②解得a²=4，b²=1，
所以椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
解法二：椭圆的两个焦点分别为F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=

7

2

+

1

2

=4，所以a=2，b²=1，
所以椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），
直线PA₁：y-1=

y0-1

x0

x，令y=0，得xN=

-x0

y0-1

；
直线PA₂：y+1=

y0+1

x0

x，令y=0，得xM=

x0

y0+1

； 
设圆G的圆心为(

1

2

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)，h)，
则r²=[

1

2

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)-

x0

y0+1

]2+h2=

1

4

(

x0

y0+1

+

x0

y0-1

)2+h2，
OG2=

1

4

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)2+h2OT2=OG2-r2=

1

4

(

x0

y0+1

+

x0

y0-1

)2+h2-

1

4

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)2-h2=

x02

1-y02

而

x02

4

+y02=1，所以

x

2 0

=4(1-

y

2 0

)，所以OT2=

4(1- y 2 0 )

1-y02

=4，
所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）
解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），
直线PA₁：y-1=

y0-1

x0

x，令y=0，得xN=

-x0

y0-1

；
直线PA₂：y+1=

y0+1

x0

x，令y=0，得xM=

x0

y0+1

；
则|OM|•|ON|=|

-x0

y0-1

•

x0

y0+1

|=|

x02

y02-1

|，而

x02

4

+y02=1，所以

x

2 0

=4(1-

y

2 0

)，
所以|OM|•|ON|=|

x02

y02-1

|=4，由切割线定理得OT²=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆为综合，考查线段长的求解，认真审题，挖掘隐含是关键．