Question

在平面内，点A、B、C分别在直线l₁、l₂、l₃上，l₁∥l₂∥l₃（l₂在l₁与l₃之间），l₁与l₂之间距离为1，l₂与l₃之间距离为2，且

AB

2=

AB

•

AC

，则△ABC的面积最小值为（　　）

• A、4
• B、

  4 3

  3

• C、2
• D、

  2 3

  3

Answer 1

分析：由条件利用两个向量垂直的条件可得

AB

⊥ 

CB

．如图所示，可得∠EAB=∠FBC=θ，且θ为锐角，利用Rt△ABE中的边角关系可得AB=

1

sinθ

，BC=

2

cosθ

．
再根据 S_△ABC=

1

2

AB•BC=

2

sin2θ

，可得当θ=

π

4

时，S_△ABC 取得最大值为2，从而得到答案．

解答：解：△ABC中，由

AB

2=

AB

•

AC

，可得

AB

•(

AB

-

AC

)=0，∴

AB

• 

CB

=0，∴

AB

⊥ 

CB

．
过点B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，如图所示，
∵EF⊥l₂，l₁∥l₂∥l₃，∴EF⊥l₁⊥l₃，∴∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°．
又∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，∴∠EAB=∠FBC=θ，且θ为锐角．
在△ABE和△BCF中，∵BE=1，BF=2，∴AB=

BE

sinθ

=

1

sinθ

，BC=

BF

cosθ

=

2

cosθ

．
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

•

1

sinθ

•

2

cosθ

=

2

sin2θ

，故当θ=

π

4

时，S_△ABC 取得最大值为2．
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，并证明△ABE≌△BCF，属于中档题．