Question

（2006•静安区二模）如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于E点，且AB=AD=2，两条异面直线A₁D与AC所成的角的大小为arccos

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，求：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer 1

分析：平面ABCD内，过D作DF∥AC交BA的延长线于F，连结A₁F，则∠A₁DF是异面直线A₁D与AC所成的角．利用三角形全等证出A₁F=A₁D，在等腰△A₁DF中由余弦定理算出A₁D=2

5

，从而得到A₁A=4，利用长方体的体积公式即可得到长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

解答：解：平面ABCD内，过D作DF∥AC交BA的延长线于F，连结A₁F
可得∠A₁DF是异面直线A₁D与AC所成的角
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，
∴Rt△A₁AF≌Rt△A₁AD，可得A₁F=A₁D
∵四边形ACDF的两组对边分别平行
∴四边形ACDF为平行四边形，可得DF=AC=

22+22

=2

2

设A₁F=A₁D=x，
△A₁DF由余弦定理，得cos∠A₁DF=

8+x2-x2

2•2 2 •x

=

10

10

，解之得x=2

5

Rt△A₁AD中，A₁A=

A1D2-AD2

=4
因此，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V=2×2×4=16．

点评：本题给出长方体内两条异面直线的所成角，求长方体的体积．着重考查了长方体的性质和异面直线的定义与求法等知识，属于中档题．