Question

设数列．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{S_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

解：（1）当n=1时，S₁=a₁=，
当n=2时，S₁S₂-2S₂+1=0，即a₁（a₁+a₂）-（a₁+a₂）+1=0，解得a₂=．
当n=3时，S₃S₂-2S₃+1=0，即（a₁+a₂+a₃）（a₁+a₂）-（a₁+a₂+a₁）+1=0，解得a₃=．
同理a₄=．
（2）由（1）可得，，，，
猜想，n=1，2，3，…
下面用数学归纳法证明
①n=1时，已经成立；
②假设n=k时结论成立即，
当n=k+1时，S_kS_k+1-2S_k+1+1=0，得=．所以n=k+1时结论成立．
综上由①②可知，猜想，n=1，2，3，…成立．
分析：（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a₂，a₃，a₄；
（2）利用（1）猜想数列{S_n}的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可，
点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力．