Question

1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），M（1，y）（y＞0）为椭圆上的一点，△MOF₁的面积为$\frac{3}{4}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点T在圆x²+y²=1上，是否存在过点 A（2，0）的直线l交椭圆C于点 B，使$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知列式c=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×y=\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，得a²，b^2即可；
（2）设直线l的方程为：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$，得T（$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$）代入 圆C₁，可得化为176k⁴-24k²-5=0可求得k．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），∴c=$\sqrt{3}$
∵△MOF₁的面积为$\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×y=\frac{3}{4}$，求得y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）为椭圆上的一点，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，解得a²=4，b²=1；
椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）假设存在过点A（2，0）的直线l交曲线C₂于点B，使$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$），且点T在圆x²+y²=1上．
当直线的斜率不存在时，点A与点B重合，此时点T的坐标为（$\frac{4\sqrt{5}}{5}，0）$，显然不在圆上，不符合题意．
∴设直线l的方程为：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，
△＞0．∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
∴T（$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$）代入 圆C₁，可得化为176k⁴-24k²-5=0，$\frac{1}{4}$，k=$±\frac{1}{2}$．
在过点A（2，0）的直线l交曲线C₂于点B，使$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$），且点T在圆x²+y²=1上，
出直线l的方程为：y=±$\frac{1}{2}$（x-2）

点评 本题考查了、直线与圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．