Question

已知：命题p：“对?x∈[-1，3]，f（x）=x³-12x＞m”；命题q：“函数g（x）=x²-lnx²在[m，0）上是增函数”．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：先分别求出命题p，q为真命题时的等价条件，然后利用复合命题的真假关系进行求范围．

解答：解：∵f（x）=x³-12x，∴f'（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
当x∈[-1，3]时，f（x）在[-1，2]上递减，在[2，3]上递增
∴f（x）在x∈[-1，3]上的最小值为f（2）=-16               …（3分）
∴命题p：“对?x∈[-1，3]，f（x）=x³-12x＞m”为真时，m的取值范围为m＜-16．…（6分）
又，函数g（x）=x²-lnx²的定义域为{x|x≠0}，且g（x）为偶函数
当x＞0时，g（x）=x²-2lnx，g′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

=

2(x2-1)

x

，
当0＜x＜1时，g'（x）＜0   当x＞1时，g'（x）＞0
所以，g（x）=x²-lnx²的单调增区间为[-1，0）和（1，+∞）；     …（8分）
其单调减区间为（-∞，-1]和（0，1]．
∴命题q：“函数g（x）=x²-lnx²在[m，0）上是增函数”为真时，m的取值范围为-1≤m＜0，…（9分）
而由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，得p，q中只能是一真一假．           …（10分）
（1）若p真而q假，则m的取值范围是“m＜-16”且“m＜-1或m≥0”，得m＜-16      …（12分）
（2）若p假而q真，则m的取值范围是m≥-16且-1≤m＜0，得-1≤m＜0．…（14分）
所以，所求m的取值范围为m＜-16或m≥-1                      …（15分）

点评：本题主要考查复合命题的真假与简单命题真假关系的应用，要求熟练掌握．