Question

12．求定积分${∫}_{0}^{4}$$\frac{x}{\sqrt{3x+4}}$dx．

Answer 1

分析 将被积函数变形，利用换元的思想转化为我们熟悉的基本初等函数形式解答．

解答 解：设t=$\sqrt{3x+4}$，则x=$\frac{{t}^{2}-4}{3}$，并且t∈[2，4]，则dx=d$\frac{{t}^{2}-4}{3}$=$\frac{2}{3}t$dt，
所以${∫}_{0}^{4}$$\frac{x}{\sqrt{3x+4}}$dx=${∫}_{2}^{4}$$\frac{{t}^{2}-4}{3}$•$\frac{1}{t}$•$\frac{2}{3}t$dt=$\frac{2}{9}$${∫}_{2}^{4}$$\frac{{t}^{2}-4}{3}$dt=$\frac{2}{9}$（$\frac{1}{3}$t³-4t）${\;}_{2}^{4}$=$\frac{64}{27}$．

点评 本题考查了定积分的计算，关键是将所求转化为熟知的基本初等函数的导数，进一步求定积分．