Question

已知圆A：（x+1）²+y²=8，点B（1，0），D为圆上一动点，过BD上一点E作一条直线交AD于点S，且S点满足，，
（1）求点S的轨迹方程；
（2）若直线l的方程为：x=2，过B的直线与点S的轨迹相交于F、G两点，点P在l上，且PG∥x轴，求证：直线FP经过一定点，并求此定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知E为BD的中点，，SD=SB，所以，由此能够推导出S的轨迹方程．
（2）当FG⊥x轴时，由，，知，直线AP过定；当FG与x轴不垂直时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P（2，y₂），设直线FG方程为y=k（x-1）．然后分k=0和k≠0两种情况分别讨论．
解答：解：（1）∵
∴E为BD的中点（1分）
∵
∴（2分）
∴SD=SB，
∴
∴S的轨迹是以A、B为焦点的椭圆（4分）
这里：∴b²=a²-c²=1
∴S的轨迹方程为：（5分）
（2）①当FG⊥x轴时，，∴
∴直线AP：
∴AP过定点（7分）
②当FG与x轴不垂直时
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P（2，y₂），设直线FG方程为y=k（x-1）
当k=0时直线FG显然过（8分）
当k≠0时，，（9分）
∴==（11分）
由得（1+2k²）y²+2ky-k²=0
∴，（12分）
∴（13分）
∴∥
∴此时直线FG也过
∴直线FG必过定点．（14分）
点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论方法的合理运用．