Question

已知a为实数，函数．
（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（II）当时，对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵，∴
∵函数f（x）的图象上有x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解∴，∴
因此，实数a的取值范围是…（5分）
（II）当
由…（6分）
由
因此，函数f（x）的单调区间为；
单调减区间为…（8分）
由此可知上的最大值为；
上的最大值为．
∴．
因此，任意的x₁x₂∈[-1，0]，恒有
所以m的取值范围是…（12分）
分析：（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则f'（x）=0有实数解，从而可求a的取值范围；
（II）对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，可转化为：对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式f（x₁）_max-f（x₂）_min≤m恒成立，利用导数可求．
点评：本题的考点是利用导数求函数在闭区间上的最值，主要考查导数的几何意义，考查恒成立问题，关键是将不等式恒成立问题转化为最值去解决．