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(2013•日照一模)若数列{bn}:对于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常数),则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.如:若cn=
4n-1,当n为奇数时
4n+9,当n为偶数时.
则{cn}
是公差为8的准等差数列.
(I)设数列{an}满足:a1=a,对于n∈N*,都有an+an+1=2n.求证:{an}为准等差数列,并求其通项公式:
(Ⅱ)设(I)中的数列{an}的前n项和为Sn,试研究:是否存在实数a,使得数列Sn有连续的两项都等于50.若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
分析:(I):由已知an+an+1=2n(n∈N*),an+1+an+2=2(n+1),即可得出an+2-an=2(n∈N*).即可证明{an}为准等差数列.分n为奇偶数即可得出其通项公式.                   
(Ⅱ)分当n为偶数时,当n为奇数时,求出Sn.                              
当k为偶数时,令Sk=50,得k=10.再分别令S9=50,S11=50得出a即可.
解答:解:(Ⅰ)∵an+an+1=2n(n∈N*)①
an+1+an+2=2(n+1)②
②-①得an+2-an=2(n∈N*).
所以,{an}为公差为2的准等差数列.                       
当n为偶数时,an=2-a+(
n
2
-1)×2=n-a

当n为奇数时,an=a+(
n+1
2
-1)×2=n+a-1

an=
n+a-1,(n为奇数)
n-a,(n为偶数)

(Ⅱ)当n为偶数时,Sn=a•
n
2
+
n
2
(
n
2
-1)
2
×2+(2-a)•
n
2
+
n
2
(
n
2
-1)
2
×2=
1
2
n2

当n为奇数时,Sn=a•
n+1
2
+
n+1
2
(
n+1
2
-1)
2
×2+(2-a)•
n-1
2
+
n-1
2
(
n-1
2
-1)
2
×2

=
1
2
n2+a-
1
2
.                              
当k为偶数时,Sk=
1
2
k2=50
,得k=10.
由题意,有S9=
1
2
×92+a-
1
2
=50⇒a=10

S11=
1
2
×112+a-
1
2
=50⇒a=-10

当a=10时,S9,S10两项等于50;当a=-10时,S10,S11两项等于50;
所以,a=±10.
点评:正确理解新定义和分类讨论的思想方法等是解题的关键.
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1
2
n2+
1
2
n,
S2=
1
3
n3+
1
2
n2+
1
6
n,
S3=
1
4
n4+
1
2
n3+
1
4
n2

S4=
1
5
n5+
1
2
n4+
1
3
n3-
1
30
n,
S5=An6+
1
2
n5+
5
12
n4+Bn2


可以推测,A-B=
1
4
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4

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人数 320 240 200
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(I)求三个社团分别抽取了多少同学;
(Ⅱ)若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务,已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.

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