Question

函数f(x)=

1

3

x3-sinx，x∈[-1，1]，则其导函数f′（x）是（　　）

A．仅有最大值的奇函数

B．既有最大值又有最小值的奇函数

C．仅有最小值的偶函数

D．既有最大值又有最小值的偶函数

Answer 1

分析：f′（x）=x²-cosx，利用奇偶函数的定义可判断函数的奇偶性，再利用导数可求得导函数f′（x）的最值．

解答：解：f′（x）=x²-cosx，
∵f′（-x）=（-x）²-cos（-x）=x²-cosx=f′（x），
∴f′（x）为偶函数；
f″（x）=2x+sinx，
当x∈[0，1]时，f″（x）≥0，∴f′（x）递增，
由f′（x）为偶函数，知f′（x）在[-1，0]上递减，
∴f′（x）_min=f′（0）=-1，f′（x）_max=f′（-1）=f′（1）=1-cos1，
故选D．

点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，属中档题，奇偶性常用定义解决．