Question

已知

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（1）当时，求的值；

（2）设.试用数学归纳法证明：当时，.

Answer 1

同下

解析:

（1）当n＝5时，

原等式变为(x＋1)⁵＝a₀＋a₁(x－1)＋ a₂(x－1)²＋ a₃(x－1)³＋a₄(x－1)⁴＋ a₅(x－1)⁵．

令x＝2得a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＝3⁵＝243．……………………………………3分

（2）因为(x＋1)ⁿ＝[2＋(x－1)]ⁿ，

所以a₂＝C×2^n－2．所以b_n＝＝2C＝n(n－1)（n≥2）．……………………5分

①当n＝2时，左边＝T₂＝b₁＋b₂＝2，右边＝＝2，左边＝右边，

等式成立．            ……………………………………………………6分

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即T_k＝，

那么，当n＝k＋1时，

左边＝T_k＋b_k＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋(k＋1)k

＝k(k＋1)(＋1)＝＝

＝右边．

当n＝k＋1时，等式成立．

综合①②，当n≥2时，T_n＝．       ……………………………10分