Question

（2008•温州模拟）已知函数y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜0时，若函数满足y_极大值=1，y_极小值=-3，
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的图象上斜率最小的切线方程．
（Ⅲ）求a取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出导函数，欲使函数f（x）在区间（0，2）上单调递增可转化成f′（x）≥0在区间（0，2）上恒成立，再借助二次函数的性质求出参数a的范围．
（Ⅱ）（1）由（I）得：f′(x)=-3x2+2ax=0，得x1=0，x2=

2

3

a，根据题中最值条件即可求出a值，从而求出函数y=f（x）的解析式；
（2）利用导数的几何意义切线的斜率为k=f′（x）=-3x²-3取得最大值-3，从而得出函数y=f（x）的图象上斜率最大的切线方程；
（Ⅲ）据题意 0≤-3x²+3ax≤1在（0，1]上恒成立结合基本不等式即可求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=-3x²+2ax，要使f（x）在（0，2）上单调递增，
则f'（x）≥0在（0，2）上恒成立  …（2分）
∵f'（x）是开口向下的抛物线∴

f′(0)≥0 f′(2)=-12+4a≥0

∴a≥3…（5分）
（Ⅱ）（1）令f′(x)=-3x2+2ax=0，得x1=0，x2=

2

3

a
∵a＜0，∴y_极大值=f（0）=b=1
∴y极小值=f(

2

3

a)=-

8

27

a3+

4

9

a3+1=-3，
∴a=-3
∴f（x）=-x³-3x+1…（9分）
（2）∵当x=0，k=f′（x）=-3x²-3取得最大值-3，
∴函数y=f（x）的图象上斜率最大的切线方程为：y-1=-3（x-0），
即y=-3x+1．
（Ⅲ）∵0≤θ≤

π

4

，∴tanθ=-3x²+2ax∈[0，1]
据题意 0≤-3x²+3ax≤1在（0，1]上恒成立   …（10分）
由 -3x2+2ax≥0，得a≥

3

2

x，a≥

3

2

由-3x2+2ax≤1，得a≤

3

2

x+

1

2x

又

3

2

x+

1

2x

≥

3

(当且仅当x=

3

3

时取”=”)，∴a≤

3

…（14分）
综上，a的取值范围是

3

2

≤a≤

3

…（15分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数的几何意义、利用导数研究函数的极值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查归与转化思想．属于基础题．