Question

已知曲线 y=

1

3

x3+2x-

2

3

．
（1）求曲线在点P（2，6）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，6）的切线方程．

Answer 1

（1）由题意得，y′=x²+2，
∴在点P（2，6）处的切线的斜率k=y′|_x=2=6，
∴在点P（2，6）处的切线方程为：y-6=6（x-2）
即 6x-y-6=0，
（2）设曲线y=

1

3

x3+2x-

2

3

与过点P（2，6）的切线相切于点A(x0，

1

3

x

30

+2x0-

2

3

)，
则切线的斜率k=y′|x=x0=

x

20

+2，
∴切线方程为y-(

1

3

x

30

+2x0-

2

3

)=(

x

20

+2)(x-x0)，
即y=(

x

20

+2)x-

2

3

x

30

-

2

3

  ①，
∵点P（2，6）在切线上，∴6=2(

x

20

+2)-

2

3

x

30

-

2

3

，
即

x

30

-3

x

20

+4=0，∴

x

30

+

x

20

-4

x

20

+4=0，
∴

x

20

(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，化简得(x0+1)(x0-2)2=0
解得x₀=-1或x₀=2，代入①得，y=3x或y=6x-6，
故所求的切线方程为3x-y=0，6x-y-6=0．