Question

已知，且（1-2x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（1）求n的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，将按排列、组合公式展开化简可得（n-5）（n-6）=90，解可得：n=15或n=-4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；
（2）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1-2x）¹⁵=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，令x=1可得a+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，令令x=0得a=1，两式相减可得答案．
（3）根据展开式的通项公式，可得展开式中第r+1项的系数绝对值为 2^r•．由 求得 r=10，可得展开式中系数绝对值最大的项是第11项．
解答：解：（1）∵已知，∴n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•，
即（n-5）（n-6）=90，解之得：n=15或n=-4（舍去），∴n=15．
（2）（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1-2x）¹⁵=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，
令x=1得：a+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，再令x=0得：a=1，∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-2．
（3）展开式的通项公式为 T_r+1=，故展开式中第r+1项的系数绝对值为 2^r•．
由  解得 ≤r≤，
∴r=10，故展开式中系数绝对值最大的项是第11项．
点评：本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意排列、组合数的定义、性质，其次注意灵活运用赋值法，属于中档题．