Question

2．在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2$\sqrt{2}$，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求证：BD⊥平面SAC；
（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AB，AD，SA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE∥平面SAD．
（2）求出平面SAC法向量和$\overrightarrow{BD}$，由此能证明BD⊥平面SAC．
（3）求出$\overrightarrow{CE}$=（0，-$\sqrt{2}$，1），平面SAC法向量$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，1，0），由此利用向量法能求出直线CE与平面SAC所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵SA=AB=2，SB=2$\sqrt{2}$，∴SA⊥AB，
又平面SAB⊥ABCD，AB为其交线，∴SA⊥平面ABCD，
又∵AB⊥AD，∴AB，AD，SA两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
A （0，0，0），B（2，0，0），C（1，$\sqrt{2}$，0），D（0，$\sqrt{2}$，0），S（0，0，2），E（1，0，1），
$\overrightarrow{CE}$=（0，-$\sqrt{2}$，1），平面SAD的法向量$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），
∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{AB}$=0，CE?平面SAD，
∴CE∥平面SAD．
（2）设平面SAC法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AS}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（-2，$\sqrt{2}$，0），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AS}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}，1，0$），
∴$\overrightarrow{n}$∥$\overrightarrow{BD}$，
∴BD⊥平面SAC．
解：（3）$\overrightarrow{CE}$=（0，-$\sqrt{2}$，1），平面SAC法向量$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，1，0），
设直线CE与平面SAC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴直线CE与平面SAC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．