Question

(1)如图2-28,已知直线AB过圆心O,交⊙O于A、B,直线AF交⊙O于F(不与B重合),直线l交⊙O于C、D,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连结AC、AD.

求证:①∠BAD=∠CAG;

②AC·AD=AE·AF.

(2)在问题(1)中,当直线l向上平行移动,与⊙O相切时,其他条件不变.

①请你画出变化后的图形,并对照图2-28标记字母;②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.

图2-28

Answer 1

(1)证明:①连结BD,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°.∴∠AGC=∠ADB.

又∵ACDB是⊙O内接四边形,

∴∠ACG=∠B.

∴∠BAD=∠CAG.

②连结CF.

∵∠BAD=∠CAG,∠EAG=∠FAB,

∴∠DAE=∠FAC.

又∵∠ADE=∠F,∴△ADE∽△AFC.

∴=.

∴AC·AD=AE·AF.

(2)解析:①图2-29为变化后的图形.

图2-29

②两个结论都成立,证明如下.

(ⅰ)连结BC,

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°.

∴∠ACB=∠AGC=90°.

∵GC切⊙O于C,∴∠GCA=∠ABC.

∴∠BAC=∠CAG,即∠BAD=∠CAG.

(ⅱ)连结CF,

∵∠CAG=∠BAC,∠GCF=∠GAC,

∴∠GCF=∠CAE.

∠ACF=∠ACG-∠GCF,∠E=∠ACG-∠CAE,

∴∠ACF=∠E.

∴△ACF∽△AEC.

∴=.∴AC²=AE·AF,

即AC·AD=AE·AF.