Question

设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f(a)=f(-

b+1

b+2

)，f（10a+6b+21）=4lg2，求a，b的值．

Answer 1

分析：根据题目给出的等式f(a)=f(-

b+1

b+2

)，代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解．

解答：解：因为f(a)=f(-

b+1

b+2

)，所以|lg(a+1)|=|lg(-

b+1

b+2

+1)|=|lg(

1

b+2

)|=|lg(b+2)|，
所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．
又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，
于是0＜a+1＜1＜b+2．
所以(10a+6b+21)+1=10(a+1)+6(b+2)=6(b+2)+

10

b+2

＞1．
从而f(10a+6b+21)=|lg[6(b+2)+

10

b+2

]|=lg[6(b+2)+

10

b+2

]．
又f（10a+6b+21）=4lg2，
所以lg[6(b+2)+

10

b+2

]=4lg2，
故6(b+2)+

10

b+2

=16．解得b=-

1

3

或b=-1（舍去）．
把b=-

1

3

代入（a+1）（b+2）=1解得a=-

2

5

．
所以 a=-

2

5

，b=-

1

3

．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解．