Question

已知，设
（1）当a=4时，求F（x）的最小值
（2）当1≤x≤4时，不等式F（x）＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=4代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式利用基本功不等式求出F（x）的最小值即可；
（2）可设，，F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函数的单调性求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．
解答：解：（1）当a=4时，∴，F（x）_min=15（4分）
（2）（6分）
设，则，令∵F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函数的单调性知，解得a＞1（12分）
点评：考查学生基本不等式在最值问题中的应用、利用整体代换的数学思想解决数学问题的能力，以及不等式恒成立的证明方法．