Question

（2012•黔东南州一模）已知函数f（x）=x³+mx²+nx+m-1，当x=-1时取得极值，且函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）O是坐标原点，A点是x轴上横坐标为2的点，B点是曲线y=f(x)(0＜x≤

4

5

)上但不在x轴上的动点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，建立方程组，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，要使△OAB的面积最大，由O、A两点在x轴上且|OA|=2知，只需在(0，

4

5

]上，|f（x_B）|的值最大，由此可求△AOB面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²+2mx+n…（1分）
由已知得

3-2m+n=0 3+2m+n=4

，∴

m=1 n=-1

．
故f（x）=x³+x²-x…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x²+2x-1=（x+1）（3x-1）
∴f（x）在(0，

1

3

)上为减函数，在(

1

3

，

4

5

)上为增函数            …（7分）
要使△OAB的面积最大，由O、A两点在x轴上且|OA|=2知，只需在(0，

4

5

]上，|f（x_B）|的值最大，
由f（x）在区间(0，

4

5

]上的单调性知，只有当x=

1

3

或x=

4

5

时，|f（x_B）|的值最大…（9分）
而|f(

1

3

)|=

5

27

＜|f(

4

5

)|=

44

125

…（10分）
故当x=

4

5

时，△OAB的面积最大，且最大值为

1

2

×2×

44

125

=

44

125

…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导数．