Question

15、五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 

5

．

Answer 1

分析：先根据题意可确定5位同学所报数值为雯波那契数列，然后可找到甲所报的数的规律，进而可转化为等差数列的知识来解题．

解答：解：由题意可知：
（1）将每位同学所报的数排列起来，即是“雯波那契数列”：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…
（2）该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n项均是3的倍数．
（3）甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m-4．
（4）．问题可化为求数列{4n}与{5m-4}的共同部分数，
易知，当m=4k，n=5k-1时，5m-4=20k-4=4n，又1＜4n≤100，
∴20k-4＜100．∴k≤5
∴甲拍手的总次数为5次．即第16，36，56，76，96次报数时拍手．
故答案为：5

点评：本题主要考查雯波那契数列、等差数列的知识．数列是高考的重点，每年必考，一定要强化复习并且还要灵活运用．