Question

（理）如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，AB=

2

，
AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：CM∥平面BDF；
（2）求二面角A-DB-F的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，证明CM与平面BDF的法向量垂直，即可证得结论；
（2）由（1）知平面BDF的一个法向量为

n

=(1，1，-

2

)，平面ABD的一个法向量为

n1

=(0，0，1)，从而可求向量

AB

与向量

n

的夹角，即可求得所求二面角A-DB-F的大小．

解答：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，M(

2

2

，

2

2

，1)，D(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，F(

2

，

2

，1)…（2分）

CM

=(

2

2

，

2

2

，1)，

DB

=(-

2

，

2

，0)，

DF

=(0，

2

，1)
设平面DBF的一个法向量为

n

=(p，q，r)，则

n • DB =0 n • DF =0

，
∴

- 2 p+ 2 q=0 2 q+r=0

取p=1，q=1，r=-

2

，
得平面DBF的一个法向量为

n

=(1，1，-

2

)，…（6分）
因为

CM

•

n

=

2

2

+

2

2

-

2

=0，
所以

CM

⊥

n

，
又因为直线CM?平面DBF内，所以CM∥平面BDF．…（6分）
（2）解：由（1）知平面BDF的一个法向量为

n

=(1，1，-

2

)，
而平面ABD的一个法向量为

n1

=(0，0，1)，cosθ=

n1 • n

| n1 |•| n |

=

- 2

1•2

=-

2

2

，…（11分）
所以向量

AB

与向量

n

的夹角θ=

3π

4

，
从图中可以看出二面角A-DB-F为锐二面角，所以所求二面角A-DB-F的大小是

π

4

．   …（12分）

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积求解．